Question

19．如图，四边形ABCD是矩形，AB=2，将矩形ABCD沿EF折叠，点D落在BC边的D′处．若四边形AD′FE恰好为菱形，则矩形的边AD的长度为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 先证明△AD′M是等边三角形，四边形ABD′M是矩形，在RT△AMD′可以求出AD′即可解决问题．

解答 解：如图作D′M⊥AE于M．

∵四边形AD′FE是菱形，
∴∠AED′=∠FED′，
∵∠DEF=∠FED′，
∴∠AED′=′FED′=∠DEF=60°，
∵AE=AD′，
∴△AED′是等边三角形，
∵∠B=∠BAM=AMD′=90°，
∴四边形ABD′M是矩形，
∴D′M=AB=2，
在RT△AMD′中，∵∠AD′M=30°，MD′=2，
∴AD′=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AE=ED′=ED=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AD=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
故答案为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查翻折变换、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是发现特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．