Question

9．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A，B的坐标分别为（0，3），（4，0），过点B作直线l⊥AB，P是直线l上一动点，作PC⊥x轴，垂足为C，设点P的横坐标为a，若a＞4，求BP的长．（用含a的代数式表示）

Answer 1

分析 先利用勾股定理计算出AB，再证明Rt△ABO∽Rt△BPC，然后利用相似比求PB．

解答 解：∵A（0，3），B（4，0），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵PB⊥AB，
∴∠ABO+∠PBC=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠PBC，
∴Rt△ABO∽Rt△BPC，
∴$\frac{OA}{BC}$=$\frac{OB}{PC}$，即$\frac{3}{a-4}$=$\frac{5}{PB}$，
∴PB=$\frac{5a-20}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了坐标与图形性质．