Question

15．如图，已知直线l₁∥l₂，l₁、l₂之间的距离为8，点P到直线l₁的距离为6，点Q到直线l₂的距离为4，PQ=4$\sqrt{30}$，在直线l₁上有一动点A，直线l₂上有一动点B，满足AB⊥l₂，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=16．

Answer 1

分析 作PE⊥l₁于E交l₂于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l₂于B，作BA⊥l₁于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．首先证明四边形ABCP是平行四边形，PA+BQ=CB+BQ=QC，利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：作PE⊥l₁于E交l₂于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l₂于B，作BA⊥l₁于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．
在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=4$\sqrt{30}$，PD=18，
∴DQ=$\sqrt{P{Q}^{2}-P{D}^{2}}$=$\sqrt{156}$，CD=PD-PC=18-8=10，
∵AB=PC=8，AB∥PC，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∴PA=BC，
∴PA+BQ=CB+BQ=QC=$\sqrt{D{Q}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{156+1{0}^{2}}$=16．
故答案为16．

点评 本题考查轴对称-最短问题、平行线的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建平行四边形解决问题，属于中考常考题型．