Question

4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAD=135°，AB=1，AC=$\sqrt{2}$，点E为CD中点．求证：CD=2AE．

Answer 1

分析 首先利用已知条件和勾股定理可证明BC=AB，进而可得∠BCA=∠BAC=45°，再根据已知条件可得∠CAD=135-45°=90°，所以三角形CAD是直角三角形，利用在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可证明CD=2AE．

解答 证明：Rt△ABC中，∠ABC=90°，
AB=1，AC=$\sqrt{2}$
∴BC²=（$\sqrt{2}$）²-1²=1，
∴BC=AB，
∴∠BCA=∠BAC=45°，
又∵∠BAD=135°，
∴∠CAD=135-45°=90°，
又∵AE为CD上中点，
∴AE为Rt△CAD斜边上中线，则CD=2AE．

点评 本题考查了勾股定理的运用以及在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）的性质，解题的关键是证明△CAD是直角三角形．