Question

15．设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R．对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点．
在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（-$\sqrt{3}$，-1），C（$\sqrt{3}$，-1）．
（1）已知点D（2，2），E（$\sqrt{3}$，1），F（-$\frac{1}{2}$，-1）．在D，E，F中，是等边△ABC的中心关联点的是E、F；
（2）如图1，过点A作直线交x轴正半轴于M，使∠AMO=30°．
①若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围；
②将直线AM向下平移得到直线y=kx+b，当b满足什么条件时，直线y=kx+b上总存在等边△ABC的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）
（3）如图2，点Q为直线y=-1上一动点，⊙Q的半径为$\frac{1}{2}$．当Q从点（-4，-1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒．是否存在某一时刻t，使得⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据中心关联点的定义，求出R、r、d即可判断；
（2）①由题意可知，点E在直线AM上，当点P在AE上时，点P都是等边△ABC的中心关联点；
②如图1-1中，设平移后的直线交y轴于G，作这条直线的垂线垂足为H．当OH=2时，求出OG即可判断；
（3）存在．理由：如图2中，设Q（m，-1）．由题意当OQ=$\frac{3}{2}$时，⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点，理由两点间距离公式即可求解．

解答 解：（1）由题意R=2，r=1，点O是△ABC的中心，
∵OD=2$\sqrt{2}$，OE=2，OF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴点E、F是△ABC的中心关联点
故答案为E，F；                        

（2）①解：如图1中，由题意A（0，2），M（$2\sqrt{3}$，0）．

可求得直线AM的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2，
经验证E在直线AM上．
因为OE=OA=2，∠MAO=60°，
所以△OAE为等边三角形，
所以AE边上的高长为$\sqrt{3}$．
当点P在AE上时，$\sqrt{3}$≤OP≤2．
所以当点P在AE上时，点P都是等边△ABC的中心关联点．
所以0≤m≤$\sqrt{3}$；            
        
②如图1-1中，设平移后的直线交y轴于G，作这条直线的垂线垂足为H．

当OH=2时，在Rt△OHG中，∵OH=2，∠HOG=30°，
∴cos30°=$\frac{OH}{OG}$，
∴OG=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴满足条件的b的值为-$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$≤b≤2；                    

（3）存在．理由：如图2中，设Q（m，-1）．

由题意当OQ=$\frac{3}{2}$时，⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点，
$\sqrt{{m}^{2}+（-1）^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
解得m=$±\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴t=$4-\frac{{\sqrt{5}}}{2}或4+\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

点评 本题考查圆综合题、等边三角形的性质、两点间距离公式、勾股定理、一次函数的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．