Question

18．如图，矩形ABCD中，E是AD边上一点，F是BC延长线一点，EF交CD于点G，连接BE．若BE平分∠AEF，G是CD边的中点，tan∠ABE=$\frac{1}{2}$，则$\frac{DE}{AE}$的值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 过点F作FM⊥BE，垂足为点M，根据角平分线的性质和矩形的性质得出BM=EM，再根据锐角三角函数的定义得出$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，设AE=x，则AB=2x，求出BM，再根据三角形内角和定理得出∠ABE=∠BFM，求出BF，在△DEG和△CFG中，根据AAS长出△DEG≌△CFG，求出DE=CF，得出AD+CF=AE+DE+CF=AE+2DE，求出x的值，即可得出答案．

解答 解：过点F作FM⊥BE，垂足为点M，
∵BE平分∠AEF，
∴∠AEB=∠BEF，
∵AD∥BF，
∴∠AEB=∠EBF，
∴∠BEF=∠EBF，
∴FE=FB，
∴BM=EM，
∵tan∠ABE=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
设AE=x，则AB=2x，
∵∠A=90°，
∴BE=$\sqrt{5}$x，
∴BM=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
∵∠ABE+∠EBF=90°，
∠BFM+∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠BFM，
∴$\frac{BM}{FM}$=$\frac{1}{2}$，
∴FM=$\sqrt{5}$x，
∴BF=$\frac{5}{2}$x，
在△DEG和△CFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠GCF}\\{∠DGE=∠CGF}\\{DG=CG}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△CFG，
∴DE=CF，
∵AD=BC，
∴AD+CF=AE+DE+CF=AE+2DE，
∴$\frac{5}{2}$x=x+2DE，
∴DE=$\frac{3}{4}$x，
∴$\frac{DE}{AE}$=$\frac{\frac{3}{4}x}{x}$=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是矩形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、三角形内角和定理，关键是根据题意作出辅助线，证出BM=EM．