Question

16．如图，正方形ABCD，以B为圆心，BC长为半径画弧，点E在圆弧上，EH⊥BC于点H，P是△EHB的内心，AB=2，则AP的最小值为$\sqrt{10}$-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先证明点P的运动轨迹是圆弧，以BC为斜边在BC的下方作等腰直角三角形BCO，则以点O为圆心，OB为半径的⊙O是点P的轨迹，因为AP≤AO-OP，所以当O、P、A共线时，PA的值最小．

解答 解：连接PE、PC、PB．
∵P是△EHB的内心，∠EHB=90°，
∴∠EPB=180°-$\frac{1}{2}$（∠HEB+∠HBE）=135°，
∵BC=BE，∠PBC=∠PBE，PB=PB，
∴△PBC≌△PBE，
∴∠BPC=∠BPE=135°（定角），
∴点P的运动轨迹是圆弧，以BC为斜边在BC的下方作等腰直角三角形BCO，连接OP、OA．
则以点O为圆心，OB为半径的⊙O是点P的轨迹，
∵AP≤AO-OP，
∴当O、P、A共线时，PA的值最小，
作OM⊥AB于M．易知OB=$\sqrt{2}$，OF=BF=1，OA=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴PA的最小值为$\sqrt{10}$-$\sqrt{2}$，
故答案为$\sqrt{10}$-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角形的内切圆与内心、正方形的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找点P的运动轨迹，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题．