Question

8．如图．分别以△ABC的边AC、BA向外作正方形ACDE和ABGF，M为BC中点，MA的延长线交EF于H．求证：
（1）AH⊥EF；
（2）EF=2AM．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，则△BPM∽△BAC，得$\frac{PM}{AC}=\frac{BP}{AB}=\frac{1}{2}$，再证明△APM∽△FAE，则∠EFA=∠PAM，由∠BAF=90°和平角的定义得：∠FAH+∠PAM=90°，所以∠AHF=90°，则AH⊥EF；
（2）由△APM∽△FAE，列比例式可得结论．

解答 证明：（1）过M作MP∥AC，交AB于P，
∴△BPM∽△BAC，
∴$\frac{PM}{AC}=\frac{BM}{BC}=\frac{BP}{AB}$，
∵M为BC中点，
∴$\frac{BM}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{PM}{AC}=\frac{BP}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴P是AB的中点，
∵正方形ACDE和ABGF，
∴AB=AF，AC=AE，∠FAB=∠CAE=90°，
∴$\frac{AP}{AF}=\frac{PM}{AE}=\frac{1}{2}$，
∵∠FAB+∠BAC+∠CAE+∠FAE=360°，
∴∠FAE+∠BAC=180°，
∵PM∥AC，
∴∠BAC+∠APM=180°，
∴∠FAE=∠APM，
∴△APM∽△FAE，
∴∠EFA=∠PAM，
∵∠BAF=90°，
∴∠FAH+∠PAM=90°，
∴∠AHF=90°，
∴AH⊥EF；
（2）由△APM∽△FAE，
∴$\frac{AM}{EF}=\frac{PM}{AE}=\frac{1}{2}$，
∴EF=2AM．

点评 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，作辅助线，构造（1）中的相似三角形是解决本题的关键；并要求熟练掌握正方形的性质．