Question

5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标为（8，0），将线段OC向上平移a个单位长度得到线段AB（点B和点A分别是点C和点O的对应点），且a是方程$\frac{3a+5}{4}$-$\frac{a+3}{2}$=1的解，连接BC；
（1）直接写出点B的坐标；B（8，5）；
（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线O→A→B匀速运动，B为终点．设运动时间为t秒，线段AP的长为d，点P运动过程中请用含t的式子表示d；
（3）在（2）的条件下，在点P运动的同时，点Q以每秒2个单位长度的速度沿折线A→B→C→O匀速运动，连接OP和OQ，当OQ分四边形OABC的面积为1：3时，求出t的值及△OPQ的面积．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{3a+5}{4}$-$\frac{a+3}{2}$=1得到a=5，可得点B坐标为（8，5）．
（2）当0≤t＜5时，d=5-t．当5≤t≤13时，d=t-5．
（3）分两种情形讨论①如图1中，当点Q是AB中点时，OQ分四边形OABC的面积为1：3．如图2中，当点Q是BC中点时，OQ分四边形OABC的面积为1：3，分别求解即可．

解答 解：（1）由$\frac{3a+5}{4}$-$\frac{a+3}{2}$=1得到a=5，
∴点B坐标为（8，5）．
故答案为（8，5）．

（2）当0≤t＜5时，d=5-t．
当5≤t≤13时，d=t-5．

（3）①如图1中，当点Q是AB中点时，OQ分四边形OABC的面积为1：3，

此时t=$\frac{4}{2}$=2，OP=2，
∴S_△POQ=$\frac{1}{2}$×2×4=4．

②如图2中，当点Q是BC中点时，OQ分四边形OABC的面积为1：3，

此时t=$\frac{12.5}{2}$=$\frac{25}{4}$s，AP=$\frac{25}{4}$-5=$\frac{5}{4}$，PB=8-$\frac{5}{4}$=$\frac{27}{4}$，
∴S_△POQ=S_矩形OABC-S_△AOP-S_△PQB-S_△OCQ=5×8-$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2}$×8×$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{27}{4}$=$\frac{295}{16}$．

点评 本题考查三角形综合题、矩形的性质、三角形的面积、一元一次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．