Question

12．如图，在△ABC中，AB=20，BC=12，D是AC上一点，过点D作DE∥BC交AB于E，作DF∥AB交BC于F，设四边形BEDF为菱形．
（1）求菱形的边长；
（2）求菱形BEDF的面积与△ABC的面积之比．

Answer 1

分析 （1）设菱形的边长为x，则AE=20-x，CF=12-x，根据相似三角形的性质得到x=$\frac{15}{2}$，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）设菱形的边长为x，则AE=20-x，CF=12-x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$，即$\frac{20-x}{20}=\frac{x}{12}$，
∴x=$\frac{15}{2}$，
∴菱形的边长是$\frac{15}{2}$；
（2）∵$\frac{{S}_{△AED}}{{S}_{△ABC}}=（\frac{DE}{BC}）^{2}=\frac{25}{64}$，$\frac{{S}_{△CDF}}{{S}_{△CBA}}$=（$\frac{DF}{AB}$）²=$\frac{9}{64}$，
∴菱形BEDF的面积与△ABC的面积之比=1-$\frac{25}{64}$-$\frac{9}{64}$=$\frac{15}{32}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．