Question

13．如图，已知二次函数y=-x²-2x+3的图象交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点．
（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A，C重合），过点P作x轴平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线与坐标轴的交点特点．分别令x=0，y=0，求出点A、B、C的坐标；再用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）设点P的坐标为（a，-a²-2a+3），由点P和点M的纵坐标相等，求点M的横坐标，然后可得PM=-a²-3a，根据二次函数的顶点坐标公式，求出PM的最大值即可．

解答 解：（1）令y=0，得：-x²-2x+3=0，解得：x1=-3，x2=1，
∴点A（-3，0），点B（1，0）；
令x=0，得：y=3，
∴点C（0，3）；
设直线AC的解析式为：y=kx+b，点A（-3，0），点C（0，3）在直线AC上，
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=x+3．
（2）如图所示，
设点P的坐标为（a，-a²-2a+3），
由PM∥x轴，可知点M的纵坐标为-a²-2a+3，
∴x+3=-a²-2a+3，
∴x=-a²-2a，
∴PM=-a²-2a-a=-a²-3a（-3＜a＜0），
当a=$-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{-2}=-\frac{3}{2}$时，PM_最大=$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的最值，在第二小题中，用含a的式子表示出点P和点M的横坐标是解决此题的关键．