题目内容

在平面直角坐标系xOy中，等腰△OAD的底边OA在x轴上，顶点D（2，-4a）（a≠0），抛物线y=a2+bx+c经过O，A，D三点．
（1）求点A的坐标；
（2）以点D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，且翻折后的劣弧所在圆的圆心在⊙D上．求⊙D的半径长和抛物线的解析式．
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得∠POA=
3
4
∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：圆的综合题
专题：
分析：（1）根据抛物线的对称性可知点D为抛物线的顶点，故抛物线的解析式为y=a（x-2）2-4a=ax2-4ax（a≠0），再把y=0代入即可得出x的值，进而得出A点坐标；
（2））当a＞0时，设⊙D被x轴分得的劣弧为OmA，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA，显然OnA所在圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D′，由OD=DD′=OD′可知△ODD′为等边三角形，根据等边三角形的性质可知∠DOA的度数及OM的长，由锐角三角函数的定义求出a的值，进而可得出抛物线的解析式；
当a＜0时，同理可得DM与OD的长，进而得出抛物线的解析式；
（3）设点P的坐标为（x，y），且y＞0，当点P在抛物线y=
3
6
x2-
2
3
3
x上时，根据点B是⊙D的优弧上的一点，根据圆周角定理可知∠OBA=
1
2
∠ADO，由圆心角、弧的关系可得∠POA的度数，过点P作PE⊥x轴于点E，由锐角三角函数的定义可求出tan∠POE的度数，故y=x，再联立y=x与抛物线的解析式可得出x、y的值，进而得出P点坐标；当点P在抛物线y=-
3
6
x2+
2
3
3
x上时，同理可得y=x，再联立y=x与抛物线的解析式可得出x、y的值，进而得出P点坐标．
解答：解：（1）∵抛物线的对称性可知点D为抛物线的顶点，
∴抛物线的解析式为y=a（x-2）2-4a=ax2-4ax（a≠0），
当y=0时，0=ax2-4ax，
解得x1=0，x2=4，
∴A（4，0）； 

（2）①当a＞0时．
如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为OmA，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA，显然OnA所在圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D′．
∴点D′与点D也关于x轴对称
∴DD′⊥OA，
∵点O在⊙D′上，且点D′在⊙D上
∴OD=DD′=OD′，
∴△ODD′为等边三角形，
∴∠DOD′=60°，
∵DD′⊥OA，OD=AD，
∴∠DOA=
1
2
∠DOD′=
1
2
×60°=30°，OM=
1
2
OA=
1
2
×4=2，
设DD′与x轴的交点为M，即∠DOM=30°，
∴DM=OM•tan30°=2×
3
3
=
2
3
3
，OD=2DM=
4
3
3
，
∴点D的纵坐标为-
2
3
3
，
∴-4a=-
2
3
3
，
∴a=
3
6
，
∴抛物线的解析式为y=
3
6
x2-
2
3
3
x，
②当a＜0时．
同理可得DM=
2
3
3
，OD=
4
3
3
，
∴抛物线的解析式为y=-
3
6
x2+
2
3
3
x，
综上，⊙D的半径长为
4
3
3
，
抛物线的解析式为y=
3
6
x2-
2
3
3
x或y=-
3
6
x2+
2
3
3
x；

（3）抛物线x轴上方的部分上存在点P，使得∠POA=
3
4
∠OBA，
设点P的坐标为（x，y），且y＞0
①当点P在抛物线y=
3
6
x2-
2
3
3
x上时，如图．
∵点B是⊙D的优弧上的一点，
∴∠OBA=
1
2
∠ADO，
∵∠ADO=60°×2=120°，
∴∠OBA=60°，
∴∠POA=
3
4
∠OBA=45°，
过点P作PE⊥x轴于点E，
∴tan∠POE=
EP
OE
，
∴
y
x
=tan45°，
∴y=x，
由
y=x
y=
3
6
x2-
2
3
3
x
解得
x1=4+2
3
y1=4+2
3
或
x2=0
y2=0
（舍去）．
∴点P的坐标为（4+2
3
，4+2
3
）；
②当点P在抛物线y=-
3
6
x2+
2
3
3
x上时．
同理可得y=x，
则
y=x
y=-
3
6
x2+
2
3
3
x
，
解得
x1=4-2
3
y1=4-2
3
，
x2=0
y2=0
（舍去），
∴点P的坐标为（4-2
3
，4-2
3
）．
综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为（4+2
3
，4+2
3
）或（4-2
3
，4-2
3
）．
点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、锐角三角函数的定义、等边三角形的性质等知识，难度较大．
练习册系列答案
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计算：[2（3x-y）2]3•[
1
2
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（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-
b
2a
，
4ac-b2
4a
）．
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在图中，将大写字母A绕它上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，作出旋转后的图案，同时作出字母A向左平移5个单位的图象．

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