Question

因式分解：
（1）x⁴+y⁴+z⁴-2x²y²-2y²z²-2x²z²
（2）x⁷+x⁵+1
（3）（x+y-2xy）（x+y-2）+（xy-1）²．

Answer 1

考点：因式分解

专题：

分析：（1）先运用分组分解法将原式变形为x⁴-2x²y²+y⁴-2y²z²-2z²x²+z⁴，然后变形为（x²-y²）²-2z²（x²+y²）+z⁴，再运用完全平方公式和平方差公式分解就可以求出结论；
（2）首先把因式添项x⁶再减去x⁶，然后因式分解，再提取公因式即可；
（3）设x+y=a，xy=b，将式子变形为（a-2b）（a-2）+（b-1）²，再去括号，合并同类项进行因式分解即可．

解答：解：（1）x⁴+y⁴+z⁴-2x²y²-2y²z²-2x²z²
=x⁴-2x²y²+y⁴-2y²z²-2z²x²+z⁴
=（x²-y²）²-2z²（x²+y²）+z⁴
=（x²-y²）²-2z²（x²-y²）+z⁴-4z²y²
=（x²-y²-z²）²-4z²y²
=（x²-y²-z²-2yz）（x²-y²-z²+2yz）
=[x²-（y+z）²][x²-（y-z）²]
=（x+y+z）（x-y-z）（x+y-z）（x-y+z）；

（2）x⁷+x⁵+1
=x⁷+x⁶+x⁵-x⁶+1
=x⁵（x²+x+1）-（x³+1）（x³-1）
=（x²+x+1）[x⁵-（x-1）（x³+1）]
=（x²+x+1）（x⁵-x⁴+x³-x+1）；

（3）设x+y=a，xy=b，
则（x+y-2xy）（x+y-2）+（xy-1）²
=（a-2b）（a-2）+（b-1）²
=a²-2ab-2a+4b+b²-2b+1
=a²-2ab-2a+b²+2b+1
=a²-2ab+b²-2a+2b+1
=（a-b）²-2（a-b）+1
=（a-b-1）²
=（x+y-xy-1）²
=[（x-1）（1-y）]²．

点评：（1）考查了分组分解法的运用，完全平方公式的运用，平方差公式的运用，解答时正确分组和灵活运用公式法求解是关键．
（2）解答本题的关键是熟练运用拆项和添项解决问题的方法，此题难度较大．
（3）关键是运用换元法进行因式分解．