Question

5．如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE=$\frac{1}{2}$EB，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ的值为2$\sqrt{3}$：$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积和平行四边形的面积得出S_△DEC=S_△DFA=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}，求出AF×DP=CE×DQ，求出BF=1，BE=2，BN=$\frac{1}{2}$，BM=a，FN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CM=$\sqrt{3}$，求出AF=$\sqrt{13}$，CE=2$\sqrt{3}$，代入求出即可．

解答 解：连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：S_△DEC=S_△DFA=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}，
即$\frac{1}{2}$AF×DP=$\frac{1}{2}$CE×DQ，
∴AF×DP=CE×DQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠DAB=60°，
∴∠CBN=∠DAB=60°，
∴∠BFN=∠MCB=30°，
∵AB=3，BC=2，
∴设AB=3a，BC=2a，
∵AE：EB=1：2，F是BC的中点，
∴BF=1，BE=2，
BN=$\frac{1}{2}$，BM=1，
由勾股定理得：FN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CM=$\sqrt{3}$，
AF=$\sqrt{（3+\frac{1}{2}）^{2}+（{\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{13}$，CE=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{13}$•DP=2$\sqrt{3}$•DQ
∴DP：DQ=2$\sqrt{3}$：$\sqrt{13}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$：$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，关键是求出AF×DP=CE×DQ和求出AF、CE的值．