Question

5．如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB的中点，⊙O向顶点A方向运动，O到A点终止，若AB=10，运动速度为1个单位/秒，运动时间设为t．试问：
（1）当t为多少秒时，⊙O与直线AC相离？
（2）当t为多少秒时，⊙O与直线AC相切？
（3）当t为多少秒时，⊙O与直线AC相交？

Answer 1

分析 利用AC与⊙O相切于点D，△ABC为正三角形，可求得sin∠A=$\frac{OD}{OA}$，利用特殊角的三角函数值可求得OA的值，根据直线和圆的位置关系解答即可．

解答 解：当AC与⊙O相切于点D时，∠ADO=90°，
∵△ABC为正三角形，
∴∠A=60°．
∴sin∠A=$\frac{OD}{OA}$，
OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
（1）当0≤t＜5-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，⊙O与直线AC相离；
（2）当t=5-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，⊙O与直线AC相切；
（3）当5-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜t≤5时，⊙O与直线AC相交．

点评 本题考查了圆的切线的性质及三角函数的定义的应用，直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交?d＜r，②直线l和⊙O相切?d=r，③直线l和⊙O相离?d＞r，解题时要注意数形结合思想的运用．