Question

如图，已知，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD+∠EDB=90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD．写出∠EBI与∠BHD的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：（1）根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠EBD，∠BDC=2∠BDE，然后求出∠ABD+∠BDC=180°，再根据同旁内角互补，两直线平行证明；
（2）根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠EBD，∠HBD=2∠IBD，然后分点H在点D的左边和右边两种情况，表示出∠ABH和∠EBI，从而得解．

解答：（1）证明：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∴∠ABD=2∠EBD，∠BDC=2∠BDE，
∵∠EBD+∠EDB=90°，
∴∠ABD+∠BDC=2×90°=180°，
∴AB∥CD；

（2）解：∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠EBD，
∵BI平分∠HBD，
∴∠HBD=2∠IBD，
如图1，点H在点D的左边时，∠ABH=∠ABD-∠HBD，
∠EBI=∠EBD-∠IBD，
∴∠ABH=2∠EBI，
∵AB∥CD，
∴∠BHD=∠ABH，
∴∠BHD=2∠EBI，
如图2，点H在点D的右边时，∠ABH=∠ABD+∠HBD，
∠EBI=∠EBD+∠IBD，
∴∠ABH=2∠EBI，
∵AB∥CD，
∴∠BHD=180°-∠ABH，
∴∠BHD=180°-2∠EBI，
综上所述，∠BHD=2∠EBI或∠BHD=180°-2∠EBI．

点评：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键，难点在于（2）分情况讨论并理清图中各角度之间的关系．