Question

如图，已知抛物线y=-x²+4x（x≥0）与抛物线y=

1

3

x²相交于点O和点A，现有一条动直线x=t（0＜t＜3）与它们分别交于点B和点C．
（1）求点A的坐标；
（2）求出四边形OCAB的面积S与t的函数关系式，当S有最大值时t的值是多少？
（3）当直线运动到何位置即t为何值时，四边形OCAB为梯形？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）解抛物线的解析式组成的方程组的解即可求得．
（2）根据S_{四边形ABOC}=S_△OBC+S_△ABC即可求得．
（3）有两种情况①AB∥OC，②OB∥AC，分别求得它们的解析式，如果两直线平行，则直线的斜率相等，即可求得t的值．

解答：解：（1）解

y=-x2+4x y= 1 3 x2

 得

x=3 y=3

 或

x=0 y=0

，
∴A点的坐标为（3，3）；

（2）如图所示：作AE∥y轴，直线x=t与抛物线y=-x²+4x的交点B（t，-t²+4t），与抛物线y=

1

3

x²的交点C（t，

1

3

t²）；
∵A（3，3），
∴S_{四边形ABOC}=S_△OBC+S_△ABC=

1

2

BC•OD+

1

2

BC•DE=

1

2

（-t²-4t-

1

3

t²）×t+

1

2

（-t²-4t-

1

3

t²）×（3-t）
整理得；S_{四边形ABOC}=-2t²+6t=-2（t-

3

2

）²+

9

2

；
∴当t=

3

2

时，S_{四边形ABOC}有最大值=

9

2

；

（3）有两种情况，
①当AB∥OC时，∵A（3，3），B（t，-t²+4t），C（t，

1

3

t²）；
∴直线AB的解析式为：y=（1-t）x+3t，直线OC的解析式为：y=

1

3

tx²，
∴1-t=

1

3

t，
解得t=

3

4

；
②当OB∥AC时，
∵A（3，3），B（t，-t²+4t），C（t，

1

3

t²）；
∴直线OB的解析式为：y=（-t+4）x，
直线AC的解析式为：y=

1

3

（t+3）x-t，
∴-t+4=

1

3

（t+3），
解得t=

9

4

；
∴当t=

3

4

或t=

9

4

时，四边形OCAB为梯形．

点评：本题考查了两个抛物线的交点的求法，四边形面积的求法，以及梯形的判定方法，构建三角形是求四边形面积的关键．