Question

16．观察下列各式：$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$；…．
（1）猜想它的规律：把$\frac{1}{n（n+1）}$表示出来：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
（2）用你猜想得到的规律，计算：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$+$\frac{1}{n（n+1）}$．

Answer 1

分析 （1）根据所给式子发现$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（2）将$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$+$\frac{1}{n（n+1）}$化为$\frac{1}{1×2}$$+\frac{1}{2×3}$$+\frac{1}{3×4}$$+\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$+$\frac{1}{n（n+1）}$，再利用所给规律化简即可．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$；
…
∴$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
故答案为：$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；

（2）∵$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$；…$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{1×2}$$+\frac{1}{2×3}$$+\frac{1}{3×4}$$+\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$+$\frac{1}{n（n+1）}$，
=1$-\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$$+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$+…$+\frac{1}{n-1}$$-\frac{1}{n}$$+\frac{1}{n}$$-\frac{1}{n+1}$
=1$-\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题主要考查了数字的变化规律，发现规律，运用规律是解答此题的关键．