Question

7．如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作⊙O的切线交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）如果sinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，AE的长为2．求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD．由切线的性质可知OD⊥DF．接下来由AC=AB，OB=OD可证明∠∠ODB=∠C，从而可证明OD∥AC，由平行线的性质可证明DF⊥AC；
（2）连结BE，AD．先证明FD∥BE，由平行线分线段成比例定理可知：F是CE的中点．设⊙O的半径为r，则AB=AC=2r．则CE=2r+2，AF=r-1，在△ABD中由锐角三角函数的定义可知AD=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}r$．最后依据sin∠ADF=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$列出关于r的方程求解即可．

解答 （1）证明：如图1所示：连接OD．

∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF．
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB．
∵AB=AC．
∴∠B=∠C．
∴∠ODB=∠C．
∴OD∥AC．
∴DF⊥AC．
（2）解：连结BE，AD．

∵AB是直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°
∵AB=AC，
∴BD=CD．
∵DF⊥AC，
∴FD∥BE．
∴可得点F是CE的中点．
设⊙O的半径为r，则AB=AC=2r．则CE=2r+2，
∴FC=r+1．
∴AF=r-1．
∵∠ABD=∠C=∠ADF，
∴sin∠ABD=sin∠ACB=sin∠ADF=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∴AD=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}r$．
∵sin∠ADF=$\frac{AF}{AD}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$=$\frac{r-1}{{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}r}}$
∴r=3．

点评 本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数的定义，用含r的式子表示出AF、AD的长是解题的关键．