Question

已知：某大型水果种植中心对去年某种时令水果的销售情况统计如下：上半年的销售单价y₁（元/千克）与月份x（月）（1≤x≤6，且x为整数）的关系．如下表所示：

x（月）	1	2	3	4	5	6
y1（元/千克）	36	18	12	9	7.2	6

下半年的销售单价y₂（元/千克）与月份x（月）（7≤x≤12，且x为整数）的函数关系为y2=ax2+4x+c，其图象如图所示．同时，去年上半年的销售量为z₁（万千克）与月份x（月）（1≤x≤6，且x为整数）的函数关系式为z1=x2-x；去年下半年的销量一直稳定在每月10万千克．
（1）请观察题目中的表格及图象，用所学过的一次函数、二次函数或反比例函数的相关知识，直接写出y₁与x的函数关系式，及y₂与x的函数关系式．
（2）试求出去年哪个月的销售额最大？最大销售额是多少万元？
（3）进入今年1月份后，由于全市物价上涨，该种植中心决定将去年取得最大销售额时的单价提高了3a%，销量却在去年12月份的基础上下降了0.5a%，进入2月份，该种植中心再次调整策略，决定将去年取得最大销售额时的单价扩大3.2倍，销量与今年1月份持平．这样，1月份、2月份两个月的销售总额一共可达到860万元，试求出a的最大整数值．（参考数据：

21

≈4.68，

22

≈4.75，

23

≈4.82）

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据图表中x、y的乘积是定值36可知此函数是反比例函数，然后写出即可；
（2）根据销售额=单价×销售量求出上半年的销售额，然后根据一次函数的增减性求出上半年最大销售额的月份及最大销售额，根据二次函数的增减性求出下半年的最大销售额与月份，两者比较即可得解；
（3）先求出去年销售额时的最大时的单价，然后根据销售额=单价×销售额表示出1月份、2月份的销售额总和，列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵1×36=36，2×18=36，3×12=36，4×9=36，5×7.2=36，6×6=36，
∴y₁与x成反比例函数关系，
故关系式为y₁=

36

x

，
由图可知，抛物线的对称轴为直线x=-

4

2a

=2，
解得a=-1，
x=0时，y=c=41，
所以，y₂=-x²+4x+41；

（2）设销售额为W，则上半年：W₁=y₁•Z₁=

36

x

•（x²-x）=36x-36，
∵1≤x≤6，
∴当x=6时，即6月份的销售额取得最大值，最大值为36×6-36=180万元，
下半年：W₂=y₂•10=10（-x²+4x+41）=-10（x-2）²+450，
根据二次函数的性质，x＞2时，y随x的增大而减小，
∵7≤x≤12，
∴当x=7时，即7月份销售额取得最大值，最大值为=-10（7-2）²+450=200万元，
∵180＜200，
∴去年7月的销售额最大，最大销售额是200万元；

（3）去年7月份销售单价为y₂=-7²+4×7+41=-49+28+41=20元，
根据题意得，20（1+3a%）×10（1-0.5a%）+（20×3.2）×10（1-0.5a%）=860，
整理得，15（a%）²-9a%+1=0，
△=b²-4ac=9²-4×15×1=81-60=21，
所以，a%=

9± 21

2×15

=

9±4.68

30

，
∴a%=

9+4.68

30

=0.456或a%=

9-4.68

30

=0.144，
∴a=45.6≈46或a=14.4≈15，
最大整数值约为46．

点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求函数的判定与求解，一次函数的增减性，二次函数的增减性，一元二次方程的解法等知识，运用二次函数解决实际问题是中考中热点题型，同学们应重点掌握．