Question

20．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB′C′D′，图中重合部分四边形AB′OD的面积为$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 根据题意可以推出△ADO≌△AB′O，所以重合部分的面积为2△ADO的面积，进而求出即可．

解答 解：连接AO，连接B′C，
∵两个正方形的边长都为1，将其中一个固定不动，另一个绕顶点A旋转45°，
∴A，B′，C三点在一条直线上，
∴∠DAC=∠DCA=45°，
∴B′O=B′C，
在Rt△ADO和Rt△AB′O中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB′}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADO≌Rt△AB′O（HL），
∴OD=B′O，
设DO=x，
∴B′O=x，OC=1-x，
∴x²+x²=（1-x）²，
解得：x=-1-$\sqrt{2}$（不合题意舍去），或x=-1+$\sqrt{2}$，
∴四边形AB′OD的面积=2S_△AC′M=2×$\frac{1}{2}$×1×（-1+$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$-1，
故答案为：$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了旋转的性质，正方形的性质定理、三角形的面积、全等三角形的判定和性质．解题关键在于求出DO=B′O的长度．