Question

二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-1，4），且与直线y=-

1

2

x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（-3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题,菱形的性质

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；
（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．

解答：解：（1）由直线y=-

1

2

x+1可知A（0，1），B（-3，

5

2

），又点（-1，4）经过二次函数，
根据题意得：

c=1 9a-3b+c= 5 2 a-b+c=4

，
解得：

a=- 5 4 b=- 17 4 c=1

，
则二次函数的解析式是：y=-

5

4

x2-

17

4

x+1；

（2）设N（x，-

5

4

x²-

17

4

x+1），
则M（x，-

1

2

x+1），P（x，0）．
∴MN=PN-PM
=-

5

4

x²-

17

4

x+1-（-

1

2

x+1）
=-

5

4

x²-

15

4

x
=-

5

4

（x+

3

2

）²+

45

16

，
则当x=-

3

2

时，MN的最大值为

45

16

；

（3）连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，
即四边形BCMN是菱形，
则MN=BC，且BC=MC，
即-

5

4

x²-

15

4

x=

5

2

，
且（-

1

2

x+1）²+（x+3）²=

25

4

，
解得：x=-1或x=-3（不合题意舍去），
故当N（-1，4）时，BM和NC互相垂直平分．

点评：本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题．