Question

8．三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度．在图中，E位于线段AC上，D位于线段BE上．
（1）说明为什么AB+AE＞DB+DE；
（2）说明为什么AB+AC＞DB+DC；
（3）AB+BC+CA与2（DA+DB+DC），哪一个更大？证明你的答案；
（4）AB+BC+CA与DA+DB+DC，哪一个更大？证明你的答案．

Answer 1

分析 （1）根据三角形三边关系，可得△ABE中，AB+AE＞BE，据此可得AB+AE＞BD+DE；
（2）根据AB+AE＞BD+DE①，DE+EC＞DC②，由①+②，化简得结论；
（3）根据AD+DB＞AB，AD+DC＞AC，DB+DC＞BC，由三个式子相加，即可得出结论；
（4）根据AB+AC＞DB+DC，AB+BC＞DA+DC，AC+BC＞DA+DB，三个式子相加，可得结论．

解答 解：（1）∵△ABE中，AB+AE＞BE，
∴AB+AE＞BD+DE；

（2）∵AB+AE＞BD+DE，①
DE+EC＞DC，②，
由①+②，化简得：
AB+AC＞DB+DC；

（3）2（DA+DB+DC）＞AB+BC+CA．
证明：∵AD+DB＞AB，AD+DC＞AC，DB+DC＞BC，
三个式子相加，得：
2（DA+DB+DC）＞AB+BC+CA；

（4）AB+AC+BC＞DA+DB+DC．
证明：由（2）可得，AB+AC＞DB+DC，
同理，AB+BC＞DA+DC，AC+BC＞DA+DB，
三个式子相加，可得：
2（AB+AC+BC）＞2（DA+DB+DC），
∴AB+AC+BC＞DA+DB+DC．

点评 本题主要考查了三角形三边关系的运用，解决问题的关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．