Question

13．如图，∠AOB=90°，点P为∠AOB内一点．
（1）分别作出P点关于OA、OB的对称点P₁，P₂；（不写作法）
（2）求证：P₁，O，P₂三点在同一直线上；
（3）若OP=5，求P₁P₂的长度．

Answer 1

分析 （1）过P作BO的垂线，垂足为M，再截取PM=P₁M，同方法作P点关于OA的对称点P₁；
（2）根据轴对称的性质可得BO是P₁P₂的垂直平分线，AO是P₁P的垂直平分线，再根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等可得P₁O=PO，P₂O=PO，然后可证明∠1+∠4=90°，再证明∠P₁OP₂=180°，从而可得P₁，O，P₂三点在同一直线上；
（3）首先证明四边形OMPN是矩形，可得∠MPN=90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP=$\frac{1}{2}$P₁P₂，进而可得答案．

解答 （1）解：如图所示：

（2）证明：
∵P点关于OA、OB的对称点P₁，P₂，
∴BO是P₂P的垂直平分线，AO是P₁P的垂直平分线，
∴P₁O=PO，P₂O=PO，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠AOB=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠4=90°，
∴∠P₁OP₂=180°，
∴P₁，O，P₂三点在同一直线上；

（3）解：∵P点关于OA、OB的对称点P₁，P₂，
∴∠PMO=∠PNO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∴∠MPN=90°，
∵P₁O=PO，P₂O=PO，
∴P₁O=P₂O=PO，
∴PO是P₁P₂的中线，
∴OP=$\frac{1}{2}$P₁P₂，
∵OP=5，
∴P₁P₂=10．

点评 此题主要考查了作图--轴对称变换，以及直角三角形的性质，关键是掌握对称轴是对称点连线的垂直平分线．