在△ABC中.AB=AC.点D是射线CB上的一动点.以AD为一边在AD的右侧作△ADE.使AD=AE.∠DAE=∠BAC.连接CE.设∠BAC=α.∠DCE=β．(1)如图1.当点D在线段CB上.且α=60°时.那么β=120度,(2)当α≠60°．①如图2.当点D在线段CB上.求α与β间的数量关系,②如图3.当点D在线段CB的延长线上.请将如图3补充完整.并求出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠DCE=β．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且α=60°时，那么β=120度；
（2）当α≠60°．
①如图2，当点D在线段CB上，求α与β间的数量关系；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，请将如图3补充完整，并求出α与β之间的数量关系．

分析（1）根据∠DAE=∠BAC，得到∠BAD=∠CAE，推出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到∠ACE=∠ABC=60°，根据得到结论；
（2）由∠BAC=∠DAE，得到∠BAD=∠CAE，推出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到∠B=∠ACE，于是得到∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，证得∠B+∠ACB=∠DCE=∠β，即可得到结论；
②由∠DAE=∠BAC，得到∠DAB=∠EAC，推出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到∠ADB=∠AEC，设线段AE和线段CB相交于点F．于是得到∠DFA=∠EFC，即可得到结论．

解答解：（1）∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABC=60°，
∴β=120°，
故答案为：120°；

（2）①α+β=180°，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE，
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠B+∠ACB=∠DCE=∠β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°，

②图形正确，α=β，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，
即∠DAB=∠EAC，
在△ABD与△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC，
设线段AE和线段CB相交于点F．
∴∠DFA=∠EFC，
∵∠DAF+∠DFA+∠ADF=∠ECF+∠EFC+∠AEC=180°，
∴∠DAF=∠ECF，
∴α=β．