Question

6．如图，已知直线AB：y=kx+2k+1与抛物线y=$\frac{1}{2}$x²交于A、B两点．
（1）直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C坐标．
（2）当k=$\frac{1}{2}$时，在抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5．
（3）若直线AB与抛物线y=$\frac{1}{2}$x²只有一个交点，求k的值．

Answer 1

分析 （1）要求定点的坐标，只需寻找一个合适x，使得y的值与k无关即可．
（2）只需联立两函数的解析式，就可求出点A、B的坐标．设出点P的横坐标为a，运用割补法用a的代数式表示△APB的面积，然后根据条件建立关于a的方程，从而求出a的值，进而求出点P的坐标
（3）联立直线与抛物线解析式，整理可得到关于x的一元二次方程，由题意可知该方程有两个相等的实数根，其判别式为零，可得到关于k的方程，可求得k的值．

解答 解：（1）∵当x=-2时，y=（-2）k+2k+4=4．
∴直线AB：y=kx+2k+4必经过定点（-2，4）．
∴点C的坐标为（-2，4）．

（2）∵k=-$\frac{1}{2}$，
∴直线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$．
∴点A的坐标为（-3，$\frac{9}{2}$），点B的坐标为（2，2）．
过点P作PQ∥y轴，交AB于点Q，
过点A作AM⊥PQ，垂足为M，
过点B作BN⊥PQ，垂足为N，如图1所示．

设点P的横坐标为a，则点Q的横坐标为a．
∴y_P=$\frac{1}{2}$a²，y_Q=-$\frac{1}{2}$a+3．
∵点P在直线AB下方，
∴PQ=y_Q-y_P
=-$\frac{1}{2}$a+3-$\frac{1}{2}$a²
∵AM+NB=a-（-3）+2-a=5．
∴S_△APB=S_△APQ+S_△BPQ
=$\frac{1}{2}$PQ•AM+$\frac{1}{2}$PQ•BN
=$\frac{1}{2}$PQ•（AM+BN）
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$a+3-$\frac{1}{2}$a²）•5
=5．
整理得：a²+a-2=0．
解得：a₁=-2，a₂=1．
当a=-2时，y_P=$\frac{1}{2}$×（-2）²=2．
此时点P的坐标为（-2，2）．
当a=1时，y_P=$\frac{1}{2}$×1²=$\frac{1}{2}$．
此时点P的坐标为（1，$\frac{1}{2}$）．
∴符合要求的点P的坐标为（-2，2）或（1，$\frac{1}{2}$）．

（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\\{y=kx+2k+1}\end{array}\right.$消去y得到x²-2kx-4k-2=0，
∵直线AB与抛物线y=$\frac{1}{2}$x²只有一个交点，
∴△=0，
∴4k²+16k+8=0，
∴k²+4k+2=0，
∴k=-2±$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了解方程组、解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、相似三角形的性质与判定等知识，考查了通过解方程组求两函数交点坐标、用割补法表示三角形的面积等方法，综合性比较强．