Question

6．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．
（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；
（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=$\frac{1}{2}$AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；
（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：在?ABCD中，
∵AD=AC，AD⊥AC，
∴AC=BC，AC⊥BC，
连接CE，
∵E是AB的中点，
∴AE=EC，CE⊥AB，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∴∠ECF=∠EAD=135°，
∵ED⊥EF，
∴∠CEF=∠AED=90°-∠CED，
在△CEF和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CEF=∠AED}\\{EC=AE}\\{∠ECF=∠EAD}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△AED，
∴ED=EF；
（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，
∵AD=AC，
∴AC=CF，
∵DP∥AB，
∴FP=PB，
∴CP=$\frac{1}{2}$AB=AE，
∴四边形ACPE为平行四边形；
（3）解：垂直，
理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，
∵∠NAE=∠EAM=45°，
∴EM=EN，
在△RtDME与Rt△FNE中，$\left\{\begin{array}{l}{EM=EN}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△DME≌△FNE，
∴∠ADE=∠CFE，
在△ADE与△CFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CFE}\\{∠DAE=∠FCE=135°}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFE，
∴∠DEA=∠FEC，
∵∠DEA+∠DEC=90°，
∴∠CEF+∠DEC=90°，
∴∠DEF=90°，
∴ED⊥EF．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．