Question

17．如图，经过坐标原点的抛物线C₁：y=ax²+bx与x轴的另一交点为M，它的顶点为点A，将C₁绕原点旋转180°，得到抛物线C₂，C₂与x轴的另一交点为N，顶点为点B，连接AM，MB，BN，NA，当四边形AMBN恰好是矩形时，则b的值（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． -2$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． -2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据四边形AMBN是矩形，易证△OAM为等边三角形，根据等边三角形性质即可解题．

解答 解：连接OA，作AD⊥OM，

∵四边形AMBN是矩形，∴OA=OM，
∵抛物线顶点为A，于x轴交于O，M点，
∴OA=AM，∴△OAM为等边三角形，∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OM，
∵当y=0时，ax²+bx=0，解得：x=0或-$\frac{b}{a}$，
∵抛物线C₁：y=ax²+bx对称轴为-$\frac{b}{2a}$，将x=-$\frac{b}{2a}$代入得：y=a${（-\frac{b}{2a}）}^{2}$+b（$-\frac{b}{2a}$），∴AD=a${（-\frac{b}{2a}）}^{2}$+b（$-\frac{b}{2a}$）
∴a${（-\frac{b}{2a}）}^{2}$+b（$-\frac{b}{2a}$）=AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（-$\frac{b}{a}$），化简得：b=$2\sqrt{3}$，
故选C．

点评 本题考查了正三角形的判定和性质，考查了抛物线顶点的计算，本题中求得A点坐标，并且找出AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OM是解题的关键．