Question

16．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-4，0）和（-1，0），过点A作CA⊥AB，连结BC，tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，将△ABC沿x轴正方向平移至顶点C₁恰好落在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，同时B₁C₁交双曲线y=$\frac{k}{x}$于另一点D（3，$\frac{8}{3}$）．
（1）求△ABC平移的距离；
（2）如图2，将△A₁B₁C₁继续向右平移后得△A₂B₂C₂，连结B₂D，C₂D，问当点B₂在何位置时，△B₂C₂D的面积是△ABC面积的2倍？请求出点B₂的坐标．

Answer 1

分析 （1）由AB的坐标可求出AB的长度，由CA⊥AB、tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，可求出AC的长度，再根据反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，将y=4代入双曲线解析式中可求出点C₁的坐标，结合点C的坐标，即可得出△ABC平移的距离；
（2）连接B₁C₂，根据平行线的性质可得出${S}_{△{B}_{2}{C}_{2}D}$=${S}_{△{B}_{2}{C}_{2}{B}_{1}}$=2S_△ABC，进而可得出点B₁、B₂的坐标，此题得解．

解答 解：（1）∵A（-4，0）、B（-1，0），
∴AB=-1-（-4）=3．
∵CA⊥AB，tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，
∴AC=$\frac{4}{3}$AB=4，
∴点C的坐标为（-4，4）．
∵点D（3，$\frac{8}{3}$）在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=3×$\frac{8}{3}$=8，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{8}{x}$．
当y=$\frac{8}{x}$=4时，x=2，
∴点C₁的坐标为（2，4），
∴△ABC平移的距离为2-（-4）=6．

（2）连接B₁C₂，如图2所示．
∵△A₁B₁C₁继续向右平移后得△A₂B₂C₂，
∴B₁C₁∥B₂C₂，
∴${S}_{△{B}_{2}{C}_{2}D}$=${S}_{△{B}_{2}{C}_{2}{B}_{1}}$=2S_△ABC，
∴$\frac{{B}_{1}{B}_{2}•{A}_{2}{C}_{2}}{2}$=2×$\frac{AB•AC}{2}$，
∴B₁B₂=2AB=6．
∵B（-1，0）且CC₁=BB₁=6，
∴B₁的坐标为（5，0），
∴B₂的坐标为（11，0）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化中的平移、平行线的性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）通过解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征求出点C、C₁的坐标；（2）根据平行线的性质找出${S}_{△{B}_{2}{C}_{2}D}$=${S}_{△{B}_{2}{C}_{2}{B}_{1}}$=2S_△ABC．