Question

已知一元二次方程ax²+bx+c=0的两根之比为m：n（a≠0，mn≠0），求证：mnb²=（m+n）²ac．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：证明题

分析：设x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，根据根与系数的关系得x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，由于x₁：x₂=m：n，则x₁=

m

n

x₂，利用两根之和可表示求出x₂=-

bn

a(m+n)

，x₁=-

bm

a(m+n)

，然后利用两根之积得到-

bm

a(m+n)

•[-

bn

a(m+n)

]=

c

a

，再利用等式的性质即可得到结论．

解答：证明：设x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，
根据题意，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，
∵x₁：x₂=m：n，
∴x₁=

m

n

x₂，
∴

m

n

x₂+x₂=-

b

a

，解得x₂=-

bn

a(m+n)

，
∴x₁=

m

n

•[-

bn

a(m+n)

]=-

bm

a(m+n)

，
∴-

bm

a(m+n)

•[-

bn

a(m+n)

]=

c

a

，
∴mnb²=（m+n）²ac．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．