Question

12．代数式$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$的最小值为5，此时x=$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 欲求：$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+1}$的最小值，可以转化为在x轴上取一点P（x，0），使得P到A（0，2），B（4，1）的距离之和最小，作A关于x轴的对称点C（0，-2），连接BC交x轴于P，此时PA+PB最小，由此即可解决问题．

解答 解：∵$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+1}$，
∴欲求：$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+1}$的最小值，可以转化为在x轴上取一点P（x，0），使得P到A（0，2），B（4，1）的距离之和最小，
作A关于x轴的对称点C（0，-2），连接BC交x轴于P，此时PA+PB最小，

∵直线BC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-2，令y=0，得到x=$\frac{8}{3}$，
∴P（$\frac{8}{3}$，0），
最小值=BC的长=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
故答案为5，$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会用转化是思想思考问题，属于中考常考题型．