Question

20．如图，△ABC边长为6的等边三角形，△ACD是等腰三角形，且AD=CD=2$\sqrt{3}$，动点P，Q同时从点D出发，均以每秒1个单位的速度分别沿D→A→B和D→C→B的路线运动，设运动时间为t秒，△BPQ的面积为S，则S与t之间的函数关系图象大致为（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根据题意可以分别求得点P从D到A和从点A到点B的解析式，从而可以求得对应的函数图象，从而可以得到哪个选项是正确的．

解答 解：连接BD交AC于点E，交PQ于点F，如右图所示，
∵AB=BC=AC=6，AD=CD=2$\sqrt{3}$，BD⊥AC，BD⊥PQ，
∴AE=3，DE=$\sqrt{3}$，
∴tan∠DAE=$\frac{DE}{AE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DAE=30°，
当$0≤t≤2\sqrt{3}$时，
$S=\frac{PQ•BF}{2}=\frac{2t•cos30°•（6•sin60°+2\sqrt{3}•sin30°-t•sin30°）}{2}$=$\frac{2t•\frac{\sqrt{3}}{2}•（6×\frac{\sqrt{3}}{2}+2\sqrt{3}×\frac{1}{2}-t×\frac{1}{2}）}{2}$=$-\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}+6t$=$-\frac{\sqrt{3}}{4}（t-4\sqrt{3}）^{2}+12\sqrt{3}$；
当$2\sqrt{3}≤t≤6+2\sqrt{3}$时，
$S=\frac{BF•PQ}{2}=\frac{（6+2\sqrt{3}-t）•sin60°•（6+2\sqrt{3}-t）}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}（6+2\sqrt{3}-t）^{2}$，
故选C．

点评 本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，求出各段对应的函数解析式，明确各段函数对应的函数图象．