题目内容
1．
如图，已知点A（-3，0）和B（1，0），直线y=kx-4经过点A并且与y轴交于点C（1）求点C的坐标；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式和对称轴；
（3）半径为1个单位长度的动圆⊙P的圆心P始终在抛物线的对称轴上，当点P的纵坐标为5时，将⊙P以每秒1个单位长度的速度在抛物线的对称轴上向下移动．
①经过几秒，⊙P与直线AC开始有公共点？经过几秒后，⊙P与直线AC不再有公共点？
②当t取何值时，⊙P被直线AC截得的弦长等于$\frac{8}{5}$（写出t的值即可）
分析 （1）直线AC的解析式中，令x=0，即可求出C点的坐标．
（2）已知了抛物线图象上的三点坐标，可利用待定系数法求得该抛物线的解析式，进而可用公式法或配方法求出抛物线的对称轴方程．
（3）①设当直线与圆开始有交点时，此圆为⊙P1，直线与与圆开始没有交点时，圆为⊙P2，那么欲求时间就必须求出PP1、PP2的值，设抛物线的对称轴与x轴交于点M，与直线AC交于点N；易求得直线AC的解析式，联立抛物线的解析式可求得点N的坐标，即可得MN的长，设⊙P1、⊙P2与直线AC的切点分别为D、E，易证得△NDP1∽△COA，根据相似三角形的比例线段即可求得P1N的值，从而由P1M=MN-NP1求得点P1的坐标，同理可求得点P2的坐标，已知了P点的纵坐标，即可求得PP1、PP2的长，由此得解．
②利用垂径定理来解答t=$\frac{20}{3}$s或t=$\frac{26}{3}$s．
解答 
解：（1）令x=0，y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4）．
（2）设过A（-3，0），B（1，0），C（0，-4）的函数解析式为：y=a（x+3）（x-1），
则有：a（0+3）（0-1）=-4，
解得，a=$\frac{4}{3}$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{4}{3}$（x+3）（x-1）=$\frac{4}{3}$x2+$\frac{8}{3}$x-4，对称轴为x=-1；
（3）①在Rt△MOC中，OA=3，OC=4，
∴CA=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
当⊙P向下移动时，设⊙P与直线AC有一个公共点的位置如图中的⊙P1和⊙P2；
⊙P1与直线AC相切于点D，⊙P2与直线AC相切于点E，连接P1D，则∠NDP1=90°，
又∵MN∥OC，
∴∠DNP1=∠ACO；
又∵∠NDP1=∠COA=90°，
∴△NDP1∽△COA，
∴$\frac{N{P}_{1}}{CA}$=$\frac{{P}_{1}D}{OA}$，即$\frac{N{P}_{1}}{5}$=$\frac{1}{3}$，则NP1=$\frac{5}{3}$；
同理NP2=$\frac{5}{3}$，把A（-3，0）代入y=kx-4中，-3k-4=0得k=-$\frac{4}{3}$；
∴直线y=-$\frac{4}{3}$x-4，把x=-1代入上式，得y=-$\frac{8}{3}$．
∴MN=|-$\frac{8}{3}$|=$\frac{8}{3}$，
∴MP1=MN-NP1=$\frac{8}{3}$-$\frac{5}{3}$=1，
∴PP1=PM+MP1=5+1=6；
PP2=PP1+2NP1=6+2×$\frac{5}{3}$=$\frac{28}{3}$，tP→P1=6÷1=6（秒），tP→P2=$\frac{28}{3}$÷1=$\frac{28}{3}$（秒）；
综上所述，经过6秒⊙P与直线AC开始有公共点，经过$\frac{28}{3}$秒后，⊙P与直线AC不再有公共点．
②如图2，过P作PM⊥AC于M，连接PE，设直线x=-1交直线AC于N，
把A（-3，0）代入直线y=kx-4得：0=-3k-4，
解得：k=-$\frac{4}{3}$，
则直线AC为y=-$\frac{4}{3}$x-4，
把x=-1代入直线y=-$\frac{4}{3}$x-4得：y=-$\frac{4}{3}$×（-1）-4=-$\frac{8}{3}$，
即QN=$\frac{8}{3}$，
∵AQ=3-1=2，
在Rt△AQN中，由勾股定理得：AN=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{8}{3}）^{2}}$=$\frac{10}{3}$，
根据垂径定理知EF=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{5}$=$\frac{4}{5}$，
∵PE=1，EF=$\frac{4}{5}$，
在直角△PEM中，根据勾股定理得：PM=$\frac{3}{5}$，
∵∠PMN=∠NQA=90°，∠PNM=∠QNA，
∴△NPM∽△NAQ，
∴$\frac{PM}{AQ}$=$\frac{PN}{AN}$，
∴$\frac{\frac{3}{5}}{2}$=$\frac{PN}{\frac{10}{3}}$，
∴PN=1，
∴t=5+$\frac{8}{3}$-1=$\frac{20}{3}$，
当P在P′点时，t=5+$\frac{8}{3}$+1=$\frac{26}{3}$，
综合上述：t=$\frac{20}{3}$s或t=$\frac{26}{3}$s．
点评 此题主要考查了函数图象与坐标轴交点坐标，一次函数图象上点的坐标特征、垂径定理，哥哥定理等知识点的应用，能综合性运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，综合性强，难度较大．
如图，海中有一灯塔C，它的周围11海里内有暗礁．一渔船以18海里/时的速度由西向东航行，在A点测得灯塔C位于北偏东60°的方向上，航行40分钟到达B点，此时测得灯塔C位于北偏东30°的方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
