Question

1．?ABCD中，DB⊥AB，AB=12，BC=13，AE平分∠DAB，EF⊥BC，则EF=$\frac{144}{65}$．

Answer 1

分析 先由平行四边形的性质和勾股定理求出BD，再根据角平分线的性质求出BE，然后证明△BEF∽△BCD，得出$\frac{EF}{CD}=\frac{BE}{BC}$，即可求出EF．

解答 解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=13，CD=AB=12，AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD，
∵DB⊥AB，
∴∠ABD=∠BDC=90°，
∴BD=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
∵AE平分∠DAB，
∴$\frac{BE}{DE}=\frac{AB}{AD}$=$\frac{12}{13}$，
∴BE=$\frac{12}{25}$×5=$\frac{12}{5}$，
∵EF⊥BC，
∴∠BFE=90°=∠BDC，
又∵∠EBF=∠CBD，
∴△BEF∽△BCD，
∴$\frac{EF}{CD}=\frac{BE}{BC}$，
即$\frac{EF}{12}=\frac{\frac{12}{5}}{13}$，
∴EF=$\frac{144}{65}$；
故答案为：$\frac{144}{65}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．