Question

如图，C为以AB为直径的⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若CD=3，AC=5，求⊙O的半径长．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC=∠OCA，接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可证明直线CD与⊙O相切于C点；
（2）连接BC，根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题．

解答：（1）证明：连结OC（如图所示），
则∠ACO=∠CAO （等腰三角形，两底角相等），
∵CD切⊙O于C，∴CO⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥CO．
∴∠DAC=∠ACO （两直线平行，内错角相等），
∴∠DAC=∠CAO，
∴AC平分∠BAD．


（2）过点E画OE⊥AC于E（如图所示），
在Rt△ADC中，AD=

(3- 5 )2

=6，
∵OE⊥AC，∴AE=

1

2

，AC=

3 5

2

，
∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=Rt∠，
∴△AEO∽△ADC，
∴

AD

AE

=

AC

AO

，即：

6

3 5 2

=

3 5

AO

，
   
∴AO=

15

4

，即⊙O的半径为

15

4

．

点评：此题主要考查了切线的性质与判定，解题时 首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的想这已知条件证明三角形相似即可解决问题．