Question

如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABH；
（2）如果AB=12，sin∠ABC=

5

3

，求DH和BC的长．

Answer 1

考点：切线的性质,解直角三角形

专题：证明题

分析：（1）连结OD，如图，根据切线的性质得EF⊥OD，而BH⊥EF，则OD∥BH，利用平行线的性质得∠2=∠3，加上∠1=∠3，所以∠1=∠2；
（2）作OG⊥BC于G，如图，根据垂径定理得BG=CG，在Rt△OBG中，利用正弦的定义可计算出OG=2

5

，再证明四边形OGHD为矩形得到DE=OG=2

5

，然后在Rt△OBG中利用勾股定理计算出BG=4，从而得到BC=2BG=8．

解答：（1）证明：连结OD，如图，
∵EF切⊙O于点D，
∴EF⊥OD，
∵BH⊥EF，
∴OD∥BH，
∴∠2=∠3，
∵OB=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴BD平分∠ABH；
（2）解：作OG⊥BC于G，如图，则BG=CG，
在Rt△OBG中，sin∠OBG=

OG

OB

=

5

3

，
而OB=6，
∴OG=2

5

，
∵OD⊥DH，GH⊥DH，
∴四边形OGHD为矩形，
∴DE=OG=2

5

，
在Rt△OBG中，∵OB=6，OG=2

5

，
∴BG=

OB2-OG2

=4，
∴BC=2BG=8．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了解直角三角形．