Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，AC=8，以C为圆心，4为半径作⊙C．
（1）试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由；
（2）点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD=2，试说明△FCD～△ACF；
（3）点E是AB边上任意一点，在（2）的情况下，试求出EF+$\frac{1}{2}$FA的最小值．

Answer 1

分析 （1）结论：相切．作CM⊥AB于M．，只要证明CM=4，即可解决问题；
（2）由CF=4，CD=2，CA=8，推出CF²=CD•CA，推出$\frac{CF}{CD}$=$\frac{CA}{CF}$，由∠FCD=∠ACF，即可推出△FCD∽△ACF；
（3）作AE′⊥AB于E′，交⊙C于F′．由△FCD∽△ACF，可得$\frac{DF}{AF}$=$\frac{CF}{CA}$=$\frac{1}{2}$，推出DF=$\frac{1}{2}$AC，推出EF+$\frac{1}{2}$AF=EF+DF，所以欲求EF+$\frac{1}{2}$AF的最小值，就是要求EF+DF的最小值；

解答 （1）解：结论：相切．

理由：作CM⊥AB于M．
在Rt△ACM中，∵∠AMC=90°，∠CAM=30°，AC=8，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=4，
∵⊙O的半径为4，
∴CM=r，
∴AB是⊙C的切线．

（2）证明：

∵CF=4，CD=2，CA=8，
∴CF²=CD•CA，
∴$\frac{CF}{CD}$=$\frac{CA}{CF}$，∵∠FCD=∠ACF，
∴△FCD∽△ACF．

（3）解：作AE′⊥AB于E′，交⊙C于F′．

∵△FCD∽△ACF，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{CF}{CA}$=$\frac{1}{2}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF+$\frac{1}{2}$AF=EF+DF，
∴欲求EF+$\frac{1}{2}$AF的最小值，就是要求EF+DF的最小值，
当E与E′，F与F′重合时，EF+DF的值最小，最小值=DE′=$\frac{1}{2}$AD=3．

点评 本题考查圆综合题、切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确切线的证明方法，学会正确寻找相似三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决问题，属于中考压轴题．