Question

如图①，直线y=2x-4分别交坐标轴于B，A两点，交双曲线y=

k

x

（x＞0）于C点，S_△AOC=8．
（1）求双曲线的解析式；
（2）直线y=mx-4（m＞0）交x轴于D点．若直线AC平分△AOD的周长，求m的值；
（3）如图②，M是射线BA上的一点，将线段BM绕B点逆时针旋转135°，点M落到双曲线上的点N，求线段BN的长度．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）求出点A、B的坐标，设点C的坐标为（a，2a-4），然后根据S_△AOC=8，求出m的值，求出点C的坐标，继而可求得反比例函数的解析式；
（2）设点D的坐标为（

4

m

，0），求出点B的坐标，然后根据题意可得AO+BO=BD+AD，代入求出m的值；
（3）作BD⊥OC于D，NE⊥x轴于E，根据（1）可得∠BOC=45°，设BE=t，则OE=t+2，表示出N点坐标，在Rt△OBD中求出OD、BD、CD的值，利用三角形的相似代入数值求出t的值，最后利用勾股定理求得BN的长度．

解答： 解：（1）把x=0代入y=2x-4得y=4，
则A点坐标为（0，-4），
把y=0代入y=2x-4得2x-4=0，解得x=2，
则B点坐标为（2，0），
设C点坐标为（a，2a-4），
∵S_△AOC=8，
∴

1

2

×4×a=8，
解得a=4，
∴C点坐标为（4，4），
∴k=4×4=16，即反比例函数解析式为y=

16

x

；

（2）由（1）得，直线AC的解析式为：y=2x-4，
则点B的坐标为（2，0），
设点D的坐标为（

4

m

，0），
则BO=2，BD=

4

m

-2，AD=

16+ 16 m2

=4

1+ 1 m2

，
∵AO+BO=BD+AD，
∴6=

4

m

-2+4

1+ 1 m2

，
解得：m=

4

3

；

（3）作BD⊥OC于D，NE⊥x轴于E，如图，
由（1）得，∠BOC=45°，OC=4

2

，
设BE=t，则OE=t+2，
则N点坐标表示为（t+2，

16

t+2

），即NE=

16

t+2

，
在Rt△OBD中，
∵OB=2，∠BOD=45°，
∴OD=BD=

2

2

OB=

2

，
∴CD=OC-OD=3

2

，
∵线段BM绕B点逆时针旋转135°，M落在双曲线上的点N处，
∴∠MBN=135°，BN=BM，
∴∠CBN=45°，
∵∠CBN+∠1=∠BOC+∠2，
∴∠1=∠2，
∴Rt△BEN∽Rt△CDB，
∴

NE

BD

=

BE

CD

，即

16 t+2

2

=

t

3 2

，
整理得t²+2t-48=0，
解得t₁=-8（舍去），t₂=6，
∴BE=6，NE=

16

2+6

=2，
在Rt△BEN中，
BN=

BE2+NE2

=2

10

．

点评：本题考查了反比例函数的综合应用，涉及了反比例函数与一次函数的交点问题、旋转的性质、等腰直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，知识点较多，难度比较大．