Question

如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数y=ax²+

8

3

x+c的图象与y轴交于点B（0，4），与x轴交于点A（-1，0）和点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△BOD内切圆的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得△BOP的面积等于

5

2

？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）利用正方形的判定方法得出四边形EFOM是正方形，进而利用直角三角形的内切圆半径求法得出即可；
（3）设P的坐标为P（x，y），到y轴的距离为|x|，则S_△BOP=

1

2

•BO•|x|，解出x=±

5

4

，进而得出P点坐标．

解答： 解：（1）把点A（-1，0）和点B（0，4）代入二次函数y=ax²+

8

3

x+c中得：

0=(-1)2a+ 8 3 ×(-1)+c 4=c

解得：

a=- 4 3 c=4

．
所以二次函数的解析式为：y=-

4

3

x²+

8

3

x+4；

（2）如图，E点是△BOD的内心，点F、M、N是切点，连接EF、EM、EN，
∴EF=EM=EN，BF=BN，DM=DN，
EF⊥BO、EM⊥OD，
∴四边形EFOM是正方形，
∴EF=OM=FO=ME，
设EF=OM=FO=ME=r，
∴BO=BF+r，OD=DM+r，
即：BN=BF=BO-r，DN=DM=OD-r，
在Rt△BOD中，BO=4，OD=3，
∴BD=

OB2+OD2

=5，
∵BD=BN+DN，
∴BD=BO-r+OD-r，
即5=4-r+3-r，
∴r=1，
∴△BOD内切圆的面积为：πr²=1²π=π；

（3）存在这样的点P，设P的坐标为P（x，y），到y轴的距离为|x|，
∵S_△BOP=

1

2

•BO•|x|，
∴

5

2

=

1

2

×4•|x|，
解得：|x|=

5

4

 所以x=±

5

4

，
把x=

5

4

 代入y=-

4

3

x²+

8

3

x+4中得：y=-

4

3

×（

5

4

）²+

8

3

×

5

4

+4即：y=

21

4

，
把x=-

5

4

 代入y=-

4

3

x²+

8

3

x+4中得：y=-

4

3

×（-

5

4

）²+

8

3

×（-

5

4

）+4即：y=-

17

12

，
∴这样的点P有两个，坐标分别为（

5

4

，

21

4

）、（-

5

4

，-

17

12

）．

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以直角三角形内切圆半径求法和三角形面积求法等知识，得出x的值有2个是解题关键．