Question

如图，已知B（0，1），C（-2，0），过点B作AB⊥BC，使得AB=BC，AB交x轴于点F．
（1）求点A到y轴的距离；
（2）点P从A出发，以1个单位/秒的速度沿射线AB运动，运动时间为t秒，请用含有t的式子表示△ACP的面积S；
（3）在（2）的条件下，当BC平分∠PCF时，求此时P点坐标．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）过A点作AE⊥y轴垂足为点E，根据全等三角形的判定证出△BOC≌△EA，再根据全等三角形的性质得出BE=OC，AE=OB，解答即可；
（2）先根据勾股定理求出BC，即可求出△ACP的面积S；
（3）作PD⊥y轴于D，先求出OF，再证明△PCB≌△FCB，得出PB=FB，然后证明△PBD≌△FBO，即可求出PD、OD，得出P坐标．

解答： 解：（1）过A点作AE⊥y轴，垂足为点E，如图所示：
则∠AEB=90°，
∵B（0，1），C（-2，0），
∴BO=1，CO=2，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠BOC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABE和△BCO中，

∠AEB=∠BOC   ∠1=∠3   AB=BC

，
∴△ABE≌△BCO（AAS），
∴AE=BO=1；
（2）根据题意得：AP=t，
由勾股定理得：BC=

12+22

=

5

，
∴△ACP的面积S=

1

2

AP•BC=

1

2

t•

5

=

5

2

t；
（3）作PD⊥y轴于D，如图所示，
∵∠ABC=90°，OB⊥CF，
根据射影定理得：BO²=CO•OF，
∴OF=

BO2

CO

=

12

2

=

1

2

，
∵BC平分∠PCF，
∴∠PCB=∠FCB，
在△PCB和△FCB中，

∠PCB=∠FCB   BC=BC   ∠PBC=∠ABC=90°

，
∴△PCB≌△FCB（ASA），
∴PB=FB，
在△PBD和△FBO中，

∠4=∠1   ∠PDB=∠FOB=90°   PB=FB

，
∴△PBD≌△FBO（AAS），
∴BD=BO=1，PD=OF=

1

2

，
∴OD=2，
∴P（-

1

2

，2）．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积的求法、坐标与图形性质；通过作辅助线构造三角形全等是解决问题的关键．