Question

如图，直线AC与x轴、y轴分别交于点C（-2，0）、A（0，4），B点坐标为（4，0），过点B作BD⊥AC于D，BD交OA于点H．
（1）请求点H的坐标；
（2）有两个动点P和Q分别从点C和点O同时沿x轴正方向匀速运动，速度分别为2个单位每秒和1个单位每秒，设△PQH的面积为S，点P、点Q的运动时间为t秒，请求S与t之间的函数关系式．（请直接写出相应的自变量t的取值范围）；
（3）请问t为何值时，△PQH的面积是△B0H的面积的

1

4

．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）证明△ACO≌△BHO，求出OH=OC即可；
（2）分三种情况讨论：①当0＜t＜1时；②当1＜t＜2时；③当t＞2时；以PQ为底，高为OH，分别求出S即可；
（3）先求出S_△BOH，再得出S=1，代入（2）中函数关系式，即可求出t的值．

解答： 解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∵C（-2，0），A（0，4），B（4，0），
∴OA=OB=4，OC=2，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠CBD=90°，
∴∠CAO=∠CBD，
在△ACO和△BHO中，

∠CAO=∠CBD   OA=OB   ∠AOC=∠BOH=90°

∴△ACO≌△BHO（ASA），
∴OH=OC=2，
∴H（0，2）；
（2）分三种情况讨论：
①当0＜t＜1时，CP=2t，OQ=t，
∴OP=2-2t，PQ=2-2t+t=2-t，
∴S=

1

2

×（2-t）×2=2-t，
∴S=2-t（0＜t＜1）；
②当1＜t＜2时，CQ=2+t，CP=2t，OQ=t，
∴PQ=CQ-CP=2+t-2t=2-t，
∴S=

1

2

×（2-t）×2=2-t，
∴S=2-t（1＜t＜2）；
③当t＞2时，PQ=2t-2-t=t-2，
∴S=

1

2

×（t-2）×2=t-2，∴S=t-2（t＞2）；
综上所述：S=2-t（0＜t＜2），或S=t-2（t＞2）；
（3）∵S_△BOH=

1

2

×2×4=4，
∴S=

1

4

S_△BOH=1，
当2-t=1时，t=1；
当t-2=1时，t=3；
∴当t=1或3时，△PQH的面积是△B0H的面积的

1

4

．

点评：本题考查了点的坐标、函数关系式的求法、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算方法；由点的坐标确定有关线段的长度和分类讨论三角形的面积是解题的关键．