Question

2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O分别与坐标轴交于A、B、C三点，已知D（0，3），连接AB、AC、AD，以AD为边作△ADE（点E在第一象限），使AE=AD，∠DAE=90°．
（1）求证：△ACD≌△ABE，并说明直线BE是⊙O的切线；
（2）若∠AEB=30°，求△ADE与⊙O重叠部分的面积；
（3）连接CE，若CE=2$\sqrt{5}$，请直接写出tan∠BED的值．

Answer 1

分析 （1）根据SAS证明△ACD≌△ABE，得∠ACD=∠ABE，所以∠CBE=90°，即CB⊥BE，得结论；
（2）如图2，由图形可知，重叠部分面积=扇形OAF一△AOF的面积，分别求扇形的圆心角∠AOF的度数和半径OA的长，证明△OAF为等边三角形，可得结论；        
（3）如图1，设BD=x，则OB=OC=3-x，根据勾股定理列方程得：BC²+BE²=CE²，即（6-x）²+（6-2x）²=（2$\sqrt{5}$）²，求出x的值可得结论．

解答 证明：（1）由题可知：AB=AC，∠BAC=90°，
∵∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD．
∴∠CAD=∠BAE．
又∵AD=AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS）．         
∴∠ACD=∠ABE．
∵∠ACD+∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠ABC=90°．
∴∠CBE=90°．
∴CB⊥BE．
∴BE是⊙O的切线．    
          
（2）如图2，由（1）△ACD≌△ABE，
∴∠ADC=∠AEB=30°，
在Rt△AOD中：∠DAO=90°-∠ADC=60°，
∵D（0，3），
∴OD=3，
tan30°=$\frac{OA}{OD}$，
∴AO=OD•tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
设AD与⊙O的另一个交点为F，连结OF，
∵OA=OF，
∴△OAF为等边三角形，
∴S_重叠部分=S_扇形OAF-S_△OAF=$\frac{60π×（\sqrt{3}）^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$（\sqrt{3}）^{2}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；

（3）如图1，设BD=x，则OB=OC=3-x，
由（1）△ACD≌△ABE，
∴BE=CD=x+3-x+3-x=6-x，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC²+BE²=CE²，
即（6-x）²+（6-2x）²=（2$\sqrt{5}$）²，
5x²-36x+52=0，
（x-2）（5x-26）=0，
x₁=2，x₂=$\frac{26}{5}$＞3（舍去），
∴BD=2，BE=6-x=6-2=4，
在Rt△BDE中，tan∠BED=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{2}{4}$，
∴tan∠BED=$\frac{1}{2}$．

点评 本题是圆的综合题，考查了切线的判定、三角形全等的性质和判定、扇形的面积、特殊的三角函数值、勾股定理，一元二次方程等知识，难度适中，本题要掌握两点：①阴影部分的面积可以利用和或差求解；②线段的长通常利用勾股定理列方程求解．