Question

14．如图，将边长分别为6，2$\sqrt{3}$的矩形硬纸片ABCD折叠，使AB，CB均落在对角线BD上，点A与点H重合，点C与点G重合，折痕分别为BE，BF．下面三个结论：①∠EBF=45°；②FG是BD的垂直平分线；③DF=5．其中正确的结论是①②（只填序号）

Answer 1

分析 ①由折叠的性质得到∠ABE=∠DBE，∠DBF=∠CBF，根据矩形的性质得到∠ABC=90°，于是得到∠EBF=∠EBD+∠FBD=45°，故①正确；
②根据三角函数的定义得到∠ABD=30°，得到∠CBD=60°，求得DF=BF，根据直角三角形的性质得到CE=$\frac{1}{2}$BD，由折叠的性质得到BG=BC，得到DG=BG，根据等腰三角形的性质得到FG⊥BD，于是得到FG是BD的垂直平分线；故②正确；
③解直角三角形得到DF=CD-CF=4，故③错误．

解答 解：①∵由折叠的性质得，∠ABE=∠DBE，∠DBF=∠CBF，
∴∠DBE+∠DBF=∠ABE+∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠EBF=∠EBD+∠FBD=45°，
故①正确；
②∵AB=6，AD=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}=\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABD=30°，
∠BDC=30°，
∴∠CBD=60°，
∴∠DBF=$\frac{1}{2}$∠CBD=30°，
∴∠FDB=∠FBD，
∴DF=BF，
∵∠C=90°，∠BDC=30°，
∴CE=$\frac{1}{2}$BD，
由折叠的性质得，BG=BC，
∴DG=BG，
∴FG⊥BD，
∴FG是BD的垂直平分线；故②正确；
∵∠CBF=∠FBD=30°，∠C=90°，
∴CF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=3，
∴DF=CD-CF=4，故③错误．
故答案为：①②．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．