Question

6．我们知道，一元二次方程x²=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个新数i，使其满足i²=-1（即x²=-1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，从而对任意正整数n，我们可得到i⁴ⁿ⁺¹=i⁴ⁿ•i=（i⁴）ⁿ•i，同理可得i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，i⁴ⁿ=1，那么，1+i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹²+i²⁰¹³+i²⁰¹⁴的值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． -1
• D． i

Answer 1

分析 i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，i⁵=i⁴•i=i，i⁶=i⁵•i=-1，从而可得4次一循环，一个循环内的和为0，计算即可．

解答 解：由题意得，i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，i⁵=i⁴•i=i，i⁶=i⁵•i=-1，
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵$\frac{2014}{4}$=503…2，
∴i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹³+i²⁰¹⁴=i-1，
∴1+i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹²+i²⁰¹³+i²⁰¹⁴=1+i-1=i．
故选D．

点评 本题考查了规律型：数字的变化类，实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算，有一定难度．