Question

2．已知，矩形ABCD．
（1）如图1把矩形ABCD对折，使AD与BC重合（即A点与B点重合，D点与C点重合），得到折痕EF，展开后再一次过点C折叠纸片，使D点落在直线EF上，记为点M（折痕为CN），求∠MNC的度数．
（2）如图2，取AD边的中点P，剪下△BPC，将△BPC沿着射线BC的方向依次进行平移变换，每次均移动BC的长度，得到△CME，△EFG和△GHI（如图3）．若BH=BI，BC=a．
①连接BM，BF，BH，证明BM，BF，BH为三边构成的新三角形是直角三角形；
②若这个新三角形面积小于50$\sqrt{15}$，直接写出a的最大整数值．

Answer 1

分析 （1）利用线段垂直平分线的性质结合翻折变换的性质得出△MDC为等边三角形，进而得出∠MNC的度数；
（2）①分别取CE、EG、GI的中点R、Q、N，连接RM、FQ、HN、BM、BF、BH，由BP=PC，根据平移变换的性质，就有△CME、△EFG和△GHI都是等腰三角形，就有RM⊥CE，FQ⊥EG，HN⊥GI，由勾股定理就可以求出HN²=$\frac{15}{4}$a²，从而得出新三角形三边的值，从而得出结论；
②利用直角三角形面积求法结合二次根式的性质得出答案．

解答 解：（1）如答图1，连接DM，
由题意得EF垂直平分DC，故MC=DM，由翻折可得，DC=MC，∠1=∠2，
故△MDC为等边三角形，
∴∠MCD=60°，
∴∠1=∠2=30°，
∴∠MNC=60°；

（2）①如答图2，分别取CE、EG、GI的中点R、Q、N，连接RM、FQ、HN、BM、BF、BH，
∵△PBC中，PB=PC，根据平移变换的性质，△CME、△EFG和△GHI都是等腰三角形，
∴RM⊥CE，FQ⊥EG，HN⊥GI．
在Rt△BHN中，BH=BI=4a，
BH²=HN²+BN²，HN²=$\frac{15}{4}$a²，
则RM²=FQ²=HN²=$\frac{15}{4}$a²，
BM²=BR²+RM²=6a²，BF²=BQ²+FQ²=10a²，
新三角形三边长为4a、$\sqrt{6}$a、$\sqrt{10}$a．
∵BH²=BM²+BF²
∴新三角形为直角三角形．        
（或通过转换得新三角形三边就是BM、MI、BI，即求△BMI的面积或利用△HBI与△HGI相似，求△HBI的面积也可以）．

②由①得：新三角形为直角三角形，其面积为：
$\frac{1}{2}$×BM×BF=$\frac{1}{2}$$\sqrt{6}$a•$\sqrt{10}$a=$\sqrt{15}$a²．
∵这个新三角形面积小于50$\sqrt{15}$，
∴$\sqrt{15}$a²＜50$\sqrt{15}$，
∴a²＜50
∴a的最大整数值为7．

点评 本题考查了翻折变换的运用、平移变换的运用、勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用、三角形的面积公式的运用．本题的综合性较强要求学生熟练的运用图形变换解题是关键．