Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P从点A出发，沿AC以每秒1个单位的速度向终点C运动，点Q从点C出发，沿C-B-A以每秒2个单位的速度向终点A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止，点P，Q同时出发，设点P的运动时间为t（秒）．
（1）求AB的长；
（2）用含t的代数式表示CP的长；
（3）设点Q到CA的距离为y，求y与t之间的函数关系式；
（4）若点C关于直线PQ的对称点为C′，当0＜t＜8时，请直接写出直线PC′与△ABC的直角边平行或垂直时t的值．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由勾股定理，求出AB的长是多少即可．
（2）首先求出AP的长度，然后用AC的长度减去AP的长度，求出CP的长度是多少即可．
（3）根据题意，分两种情况：①当0≤t≤3时；②当3＜t≤8时；求出y与t之间的函数关系式即可．
（4）根据题意，分三种情况：①PC′∥BC，且点C′在AC所在的直线的上方；②PC′⊥BC；③PC′∥BC，且点C′在AC所在的直线的下方；求出直线PC′与△ABC的直角边平行或垂直时t的值各是多少即可．

解答 解：（1）如图1，

∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}{+6}^{2}}$=10．     
           
（2）∵点P从点A出发，沿AC以每秒1个单位的速度向终点C运动，
∴AP=t，
又∵AC=8，
∴CP=8-t．    
                              
（3）①如图2，当0≤t≤3时，
，
∵点Q从点C出发，沿C-B-A以每秒2个单位的速度向终点A运动，
∴y=QC=2t．                       
②如图3，当3＜t≤8时，如图，作QD⊥AC于点D，
，
∵sinA=$\frac{DQ}{QA}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{y}{6+10-2t}$=$\frac{3}{5}$，
∴y=-$\frac{6}{5}$t$+\frac{48}{5}$．    
                       
（4）①如图4，CC′与PQ交于点O，PC′∥BC，
，
∵点C关于直线PQ的对称点为C′，
∴CO=OC′，PC′=PC=8-t，
∵PC′∥BC，
∴$\frac{PC′}{CQ}=\frac{OC′}{CO}=1$，
∴PC′=CQ，
∴8-t=2t，
解得t=$\frac{8}{3}$．
②如图5，
，
当PQ∥BC时，点C关于直线PQ的对称点C′在线段AP上，
∴PC′⊥BC，
∵PQ∥BC，
∴$\frac{AP}{CP}=\frac{AQ}{BQ}$，
∴$\frac{t}{8-t}=\frac{6+10-2t}{2t-6}$，
解得t=$\frac{64}{13}$．
③如图6，CC′与QP的延长线交于点D，PC′∥BC，

∵点C关于直线PQ的对称点为C′，
∴CD=DC′，PC′=PC，
∵PC′∥BC，BC⊥AC，
∴PC′⊥AC，∠CPC′=90°，
∴∠CPD=45°，
又∵∠APQ=∠CPD，
∴∠APQ=45°，
∴sin∠AQP=sin（45°+∠PAQ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{6}{10}+\frac{8}{10}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
在△APQ中，由正弦定理，可得
$\frac{AQ}{sin45°}=\frac{AP}{sin∠AQP}$，
∴$\frac{6+10-2t}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{t}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}$，
解得t=$\frac{112}{19}$．
综上，可得直线PC′与△ABC的直角边平行或垂直时，t=$\frac{8}{3}$，$\frac{64}{13}$或$\frac{112}{19}$．

点评 （1）此题主要考查了相似形综合题，考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（2）此题还考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了勾股定理的应用，要熟练掌握．