Question

14．如图，平面直角坐标系中，直线AB：$y=-\frac{4}{3}x+4$与坐标轴分别交于A、B两点，P是直线y=1上一动点．
（1）直接写出A、B的坐标：A（3，0），B（0，4）．
（2）是否存在点P使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直线解析式x=0、y=0，即可求出点A、B的坐标．
（2）存在，设出点P坐标，根据A、P、B三点，利用两点之间距离公式，写出三条线长度，分类讨论，分三种情况，AB=AP，AB=BP，AP=BP，利用等腰三角形性质，求出点P坐标．

解答 解：（1）直线AB：$y=-\frac{4}{3}x+4$与坐标轴分别交于A、B两点，
令x=0，y=4，令y=0，x=3，
∴A（3，0），B（0，4）．
故答案为：（3，0），（0，4）．

（2）存在．
∵P是直线y=1上一动点，A（3，0），B（0，4），
∴设点P（x，1），
则：AB=5，AP=$\sqrt{（3-x）^{2}+1}$，BP=$\sqrt{{x}^{2}+9}$，
当AB=AP时，
5=$\sqrt{（3-x）^{2}+1}$，
整理得：x²-6x-15=0
解得：x=3±2$\sqrt{6}$
∴P₁（3+2$\sqrt{6}$，1），P₂（3-2$\sqrt{6}$，1）．
当AB=BP时，
5=$\sqrt{{x}^{2}+9}$，
整理得：x²=16
解得：x=±4，
∴P₃（4，1），P₄（-4，1）．
当AP=BP时，
$\sqrt{（3-x）^{2}+1}$=$\sqrt{{x}^{2}+9}$，
解得：x=$\frac{1}{6}$，
∴P₅（$\frac{1}{6}$，1）．
综上所述：∴P₁（3+2$\sqrt{6}$，1），P₂（3-2$\sqrt{6}$，1），P₃（4，1），P₄（-4，1），P₅（$\frac{1}{6}$，1）．

点评 题目考查了一次函数综合应用，（1）相对简单，（2）主要考查等腰三角形性质和两点之间距离公式，学生只要掌握这些知识点，解决此问题就会变得轻而易举，需要注意的是，在解题过程中不要出现漏解现象．