Question

18．如图，在平面直角坐标系中，∠OCA=90°，点A在x轴上，OC=AC=4，D、E分别是OC、AC的中点，将四边形OAED沿x轴向右平移，得四边形PQRS．设OP=m（0＜m＜4$\sqrt{2}$）．
（Ⅰ）在平移过程中，四边形OPSD能否成为菱形？若能，求出此时m的值；若不能，说明理由．
（Ⅱ）设平移过程中△OAC与四边形SPQR重叠部分的面积为S，试用含m的式子表示S．
（Ⅲ）当S=3时，求点P的坐标（直接写出结果即可）

Answer 1

分析 （1）根据平移得到OD∥PS，OD=PS，再由菱形的判定方法有OP=OD，即可；
（2）分两段求出面积，①当0＜m＜2$\sqrt{2}$时，先表示出SE=2$\sqrt{2}$-m，PA=4$\sqrt{2}$-m，重叠部分为梯形PAES，求出即可，②当2$\sqrt{2}$≤m＜4$\sqrt{2}$时，重叠部分为△PAN，再求出此三角形的底和高即可；
（3）由（2）的函数关系式，分别代S=3，解出m，判断即可．

解答 解：（Ⅰ）能为菱形，
理由：由平移知，OD∥PS，OD=PS，
∴四边形OPSD是平行四边形，
当OP=OD时，四边形OPSD能为菱形，
∵D是OC中点，OC=4，
∴OD=$\frac{1}{2}$OC=2，
∴OP=2，
即：m=2时，四边形OPSD是菱形；
（Ⅱ）①当0＜m＜2$\sqrt{2}$时，重叠部分为梯形PAES，
如图，

作DH⊥OA，
∵D，E分别是OC，AC中点，OD=2，
∴DH=$\sqrt{2}$，DE=$\frac{1}{2}$OA=2$\sqrt{2}$，
∵DS=OP=m
∴SE=2$\sqrt{2}$-m，PA=4$\sqrt{2}$-m，
S=$\frac{1}{2}$（SE+PA）×DH
=$\frac{1}{2}$[（2$\sqrt{2}$-m）+（4$\sqrt{2}$-m）]×$\sqrt{2}$
=6-$\sqrt{2}$m，（0＜m＜2$\sqrt{2}$）
②当2$\sqrt{2}$≤m＜4$\sqrt{2}$时，PS与AC相交于N，重叠部分为△PAN，
∵△PAN为等腰直角三角形，
∴PA=4$\sqrt{2}$-m，△PAN的PA边上的高h=$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{2}$-m），
∴S=$\frac{1}{2}$PA×h
=$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{2}$-m）×$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{2}$-m）
=$\frac{1}{4}$m²-2$\sqrt{2}$m+8（2$\sqrt{2}$≤m＜4$\sqrt{2}$）；
（Ⅲ）∵S=3，
∴①当0＜m＜2$\sqrt{2}$时，6-$\sqrt{2}$m=3，
∴m=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴P（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，0）
②当2$\sqrt{2}$≤m＜4$\sqrt{2}$时，$\frac{1}{4}$m²-2$\sqrt{2}$m+8=3，
∴m²-8$\sqrt{2}$m+20=0，
∴m=4$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$（舍），或m=4$\sqrt{2}$-2$\sqrt{3}$（舍）
即：P（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，0）．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，梯形，三角形的面积计算方法，解本题的关键是求出重叠部分面积和点P的横坐标m的关系．