题目内容
如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AB上截取AE=AC，过点E作EF∥BC交AD于点F．（1）试判断四边形CDEF是何种特殊的四边形；
（2）当AB＞AC，∠ABC=20°时，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC的度数；如果不能，请说明理由；
（3）若题目改为“AD平分∠BAC的外角交直线BC于点D”，设∠ABC=x，其他条件不变，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC关于x的关系；如果不能，试说明理由．
考点：正方形的判定,菱形的判定
专题：
分析：（1）根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，然后利用“边角边”证明△ADE和△ADC全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=DE，全等三角形对应角相等可得∠ADC=∠ADE，同理可得△AEF和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=CF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ADC=∠EFD，然后求出∠EFD=∠ADE，根据等角对等边可DE=EF，然后求出CD=DE=EF=CF，最后利用四条边都相等的四边形是菱形证明；
（2）根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠ADE=45°，然后利用三角形的内角和等于180°列式求出∠BAD，再根据角平分线的定义可得∠BAC=2∠BAD；
（3）作出图形，根据正方形的对角线平分一组对角求出∠ADB=45°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EAD，再根据角平分线的定义可得∠CAE=2∠DAE，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
（2）根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠ADE=45°，然后利用三角形的内角和等于180°列式求出∠BAD，再根据角平分线的定义可得∠BAC=2∠BAD；
（3）作出图形，根据正方形的对角线平分一组对角求出∠ADB=45°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EAD，再根据角平分线的定义可得∠CAE=2∠DAE，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
解答：解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴D=DE，∠ADC=∠ADE，
同理可得，△AEF≌△ACF，
∴EF=CF，
∵EF∥BC，
∴∠ADC=∠EFD，
∴∠EFD=∠ADE，
∴DE=EF，
∴CD=DE=EF=CF，
∴四边形CDEF是菱形；
（2）∵四边形CDEF是正方形，
∴∠ADE=45°，
∴∠BAD=180°-20°-（90°+45°）=25°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD=2×25°=50°；
（3）四边形CDEF能是正方形，∠BAC=-2x+90°．
理由如下：∵四边形CDEF是正方形，
∴∠ADB=45°，
∴∠EAD=∠ABC+∠ADB=x+45°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAE=2∠DAE=2（x+45°）=2x+90°，
∴∠BAC=180°-∠CAE=180°-（2x+90°）=-2x+90°，
即∠BAC=-2x+90°．
∴∠BAD=∠CAD，
在△ADE和△ADC中，
|
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴D=DE，∠ADC=∠ADE，
同理可得，△AEF≌△ACF，
∴EF=CF，
∵EF∥BC，
∴∠ADC=∠EFD，
∴∠EFD=∠ADE，
∴DE=EF，
∴CD=DE=EF=CF，
∴四边形CDEF是菱形；
（2）∵四边形CDEF是正方形，
∴∠ADE=45°，
∴∠BAD=180°-20°-（90°+45°）=25°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD=2×25°=50°；
（3）四边形CDEF能是正方形，∠BAC=-2x+90°．
理由如下：∵四边形CDEF是正方形，
∴∠ADB=45°，
∴∠EAD=∠ABC+∠ADB=x+45°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAE=2∠DAE=2（x+45°）=2x+90°，
∴∠BAC=180°-∠CAE=180°-（2x+90°）=-2x+90°，
即∠BAC=-2x+90°．
点评：本题考查了正方形的判定与性质，菱形的判定，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，平行线的性质，熟记各性质并综合运用是解题的关键，作出图形更形象直观．
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