Question

3．如图，⊙O的直径为6，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4：3，P在半圆上运动，CP⊥CD交PB的延长线于D点．当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大为（　　）

• A． 36
• B． 24
• C． 18
• D． 12

Answer 1

分析 利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再利用勾股定理计算出AC=$\frac{18}{5}$，BC=$\frac{24}{5}$，则S_△ACB=$\frac{216}{25}$，接着证明Rt△PDC∽Rt△ABC，利用相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{△PDC}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{PC}{AC}$）²，由于当PC为直径时最大，S_△PDC最大，所以S_△PDC的最大值为$\frac{216}{25}$×（$\frac{6}{\frac{18}{5}}$）²=24．

解答 解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，设BC=4x，AC=3x，
∴AB=5x，
∴5x=6，解得x=$\frac{6}{5}$，
∴AC=$\frac{18}{5}$，BC=$\frac{24}{5}$，
∴S_△ACB=$\frac{1}{2}$×$\frac{18}{5}$×$\frac{24}{5}$=$\frac{216}{25}$，
∵∠A=∠P，
∴Rt△PDC∽Rt△ABC，
∴$\frac{{S}_{△PDC}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{PC}{AC}$）²，
∴S_△PDC=$\frac{216}{25}$×（$\frac{PC}{\frac{18}{5}}$）²，
∴当PC最大时，S_△PDC最大，
而PC的最大值为6，
∴S_△PDC的最大值为$\frac{216}{25}$×（$\frac{6}{\frac{18}{5}}$）²=24．
故选B．

点评 本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了圆周角定理．